Teoremas de Consistencia o Consistencia logica

La consistencia o consistencia lógica es la propiedad que tienen los sistemas formales cuando no es posible deducir una contradicción dentro del sistema. Es decir, dado un lenguaje formal y un aparato deductivo (axiomas y reglas de inferencia), no es posible deducir una fórmula y su negación. La existencia de un modelo implica que una teoría lógica es consistente.

La Consistencia en Términos Semánticos y Sintácticos

La consistencia de un conjunto de proposiciones A puede ser definida tanto en términos semánticos como en términos sintácticos.
En términos semánticos, un conjunto de fórmulas es consistente si y sólo si tiene un modelo M.

|=MA

Es decir, si existe al menos una interpretación que haga verdaderas a todas las fórmulas del conjunto.
Para evaluar si el conjunto es consistente según la definición semántica, podemos construir una tabla de verdad:

Como se ve, en ninguna de las interpretaciones (ninguna de las filas de la tabla) se da que todas las fórmulas son verdaderas. Luego, de acuerdo con la definición semántica, el conjunto es inconsistente.

En términos sintácticos, un conjunto de fórmulas es consistente si y sólo si para toda fórmula A, no es posible deducir tanto A como ￢A (la negación lógica de A) a partir del conjunto de fórmulas.

Por ejemplo, considérese el siguiente conjunto de fórmulas de la lógica proposicional: $p,q,(q\to \neg q),r$ . Utilizando la regla de inferencia del modus ponens entre $q\land (q\to \neg q)$ , es posible deducir $\neg p$ . Luego, según la definición sintáctica de consistencia, el conjunto es inconsistente.

Tipos de consistencia

Existen diferentes tipos de consistencias lógicas, que se refieren a la coherencia y validez de un conjunto de afirmaciones o teorías. Algunos de los tipos de consistencia lógica más importantes son:

1. Consistencia interna: Se refiere a la coherencia de un conjunto de afirmaciones o teorías entre sí, es decir, que no haya contradicciones internas.

2. Consistencia externa: Se refiere a la coherencia de un conjunto de afirmaciones o teorías con otras teorías o conocimientos ya establecidos.

3. Consistencia formal: Se refiere a la validez de un conjunto de afirmaciones o teorías dentro de un sistema formal de lógica, en el que se definen reglas y axiomas para la deducción lógica.

4. Consistencia semántica: Se refiere a la validez de un conjunto de afirmaciones o teorías en términos de su significado y referencias en el mundo real, es decir, que las afirmaciones sean coherentes con los hechos y la experiencia.

5. Consistencia de modelos: Se refiere a la coherencia de un conjunto de afirmaciones o teorías en relación con diferentes modelos o perspectivas, lo que implica que las afirmaciones sean consistentes y aplicables en diferentes contextos o situaciones.

Caracteristicas y Ejemplos

Una característica fundamental de los argumentos y enunciados, que se refiere a la propiedad de que un conjunto de proposiciones no contenga contradicciones internas. Algunas de las características de la consistencia lógica son:

1. Ausencia de contradicciones: La principal característica de la consistencia lógica es que no hay contradicciones entre los enunciados de un argumento. Si hay dos o más enunciados que se contradicen, entonces el argumento no es consistente.

2. Coherencia interna: La consistencia lógica también implica que los enunciados de un argumento se apoyan entre sí y no se contradicen. Los enunciados deben ser coherentes y tener una relación lógica clara entre ellos.

3. No contradicción con la realidad: Un argumento consistente debe ser compatible con la realidad. Si un argumento va en contra de lo que se sabe o se ha observado, entonces no es consistente.

4. Validez: Un argumento consistente es válido, es decir, su conclusión se sigue necesariamente de las premisas. La consistencia lógica es una condición necesaria pero no suficiente para la validez.

5. Complejidad: La consistencia lógica puede ser más difícil de lograr en argumentos más complejos, con muchas premisas y conclusiones. Por lo tanto, puede requerir un mayor nivel de análisis y evaluación.

Un ejemplo de consistencia lógica sería el siguiente argumento:

Premisa 1: Todos los seres humanos son mortales.
Premisa 2: Sócrates es un ser humano.
Conclusión: Por lo tanto, Sócrates es mortal.

Este argumento es consistente porque las premisas no se contradicen entre sí y están en línea con lo que se sabe acerca de la realidad. Además, la conclusión se sigue necesariamente de las premisas, lo que lo hace válido.

Por otro lado, un ejemplo de falta de consistencia lógica sería:

Premisa 1: Todos los pájaros tienen cuatro patas.

Premisa 2: Un gato es un pájaro.

Conclusión: Por lo tanto, un gato tiene cuatro patas.

Este argumento es inconsistente porque la premisa 1 es falsa y contradice lo que sabemos sobre la anatomía de los pájaros. La premisa 2 también es falsa, ya que un gato no es un pájaro, lo que hace que la conclusión sea incorrecta.

Consistencia Lógica