Metateorema de Validación, Solidez y Completitud

Metateorema de validación 

El Metateorema de validación lógica se refiere a las distintas formas de demostrar la validez de un argumento y al estudio de esta misma. En lógica, se dice que un argumento tiene validez cuando es posible deducir la conclusión del mismo a través de las premisas o axiomas que lo componen. En otras palabras, La validez es una propiedad que recibe un argumento cuando la conclusión del mismo es una consecuencia lógica de sus premisas. Veamos un ejemplo:

Si no es lunes, entonces es martes
No es lunes
Por lo tanto es martes

Como podemos observar, la conclusión de la proposición es una consecuencia lógica de la premisa “no es lunes”.

Es importante saber que para que un argumento sea deductivamente válido no es netamente necesario que las premisas que lo componen sean verdaderas, siempre y cuando se cumpla la consecuencia lógica. Sin embargo, si las premisas son verdaderas y el argumento es válido al mismo tiempo, el argumento es sólido. La Lógica formal solo exige una relación condicional entre las premisas y la conclusión: “Si las premisas son verdaderas, entonces la conclusión también lo es” o “que la conclusión sea deducible de las premisas conforme a las reglas de un sistema lógico”.

Demostrar validez de un argumento

Un argumento es válido cuando cumple con la forma de esquema válida según su composición; por ejemplo:

Es rojo o es azul
No es rojo
Por lo tanto es azul 

Este argumento es válido porque a pesar de que posiblemente las premisas que lo conforman no son verdaderas, cumple con el esquema de un silogismo disyuntivo correctamente, el cual es un esquema de argumento válido. Para determinar la validez de un argumento en específico, es posible determinar su esquema semánticamente o sintácticamente.

Método semántico

Consiste en verificar que es imposible que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa; se logra esto suponiendo el valor verdadero de las premisas y para intentar deducir la verdad de la conclusión. Otra forma sería suponer que las premisas son verdaderas y la conclusión falsa para luego intentar deducir que se trata de una contradicción aplicando las definiciones de verdad.

Si usamos la lógica proposicional, otra forma sería convertir el argumento a su correspondiente fórmula, y construir su tabla de la verdad

Método Sintáctico

En este se dice que el esquema de un argumento es válido cuando existe una deducción de la conclusión a partir de las premisas y los axiomas del sistema, haciendo uso únicamente de las reglas de inferencia permitidas.

Metateorema de solidez y completitud

La solidez es una propiedad que tiene un argumento cuando es válido y sus premisas son verdaderas al mismo tiempo. Es decir, que si un argumento es sólido significa que su conclusión deberá ser necesariamente verdadera.

Un ejemplo de un argumento sólido es:

Todas las luces de la casa están encendidas
La luz de la cocina está dentro de la casa
La luz de la cocina está encendida

El argumento es sólido porque es válido, y las premisas son verdaderas.

Cuando hablamos del metateorema de solidez y completitud nos referimos a las teorías de demostración de la solidez y completitud en sistemas lógicos. Ya sabemos lo que significa cuando decimos que un argumento es sólido lógicamente, pero ¿Qué hay de la completitud? Hablando metalógicamente, la completitud es una propiedad metateórica que tienen los sistemas formales cuando todas las fórmulas lógicamente válidas del sistema son además teoremas del mismo sistema; es decir, el conjunto de verdades lógicas del sistema es también un subconjunto del conjunto de teoremas. A este concepto se le asocia el concepto de completitud sintáctica, el cual dice que es la propiedad que tienen los sistemas formales cuando toda formula perteneciente al lenguaje del sistema es un teorema, o bien su negación lo es.

Basandonos en el concepto de completitud sintáctica podemos decir que la lógica proposicional y la lógica de primer orden son semánticamente completas, pero sintácticamente incompletas, pues, en la lógica proposicional ni la fórmula p ni su negación son consideradas teoremas; sin embargo, como ninguna de éstas fórmulas es una verdad lógica, no afectan la completitud semántica del sistema.